再次读了《Math, Better Explained: Learn to Unlock Your Math Intuition》虚数部分，这次做点笔记。
1. 直观理解虚数\(i\)
实数轴因为有了负数才完整（正负号表示方向），坐标系因为有了虚数才完整（虚数\(i\)视为X轴中的1逆时针翻转\(90^{\circ}\)）。将虚数\(i\)（imaginary number）放在直角坐标系理解：
- \(i\)：逆时针翻转\(90^{\circ}\)，到达了Y轴正方向
- \(-i\)：顺时针翻转\(90^{\circ}\)，到达了Y轴反方向
- \(i^2\)：两次逆时针翻转\(90^{\circ}\)，到达了X轴反方向，即为\(-1\)，所以\(i^2=-1\)
- \(i^3\)：三次逆时针翻转\(90^{\circ}\)，到达了Y轴反方向，所以\(i^3=-i\)
- \(i^4\)：四次逆时针翻转\(90^{\circ}\)，回到原点，所以\(i^4=1\)
如下图所示（图片来源于这里）：
2. 复数
上述介绍的翻转都是\(90^{\circ}\)的整数，如果不是\(90^{\circ}\)呢，比如说\(45^{\circ}\)，如下图所示（图片来源于[1]）：
翻转\(45^{\circ}\)的数\(1+i\)，既包含实数部分，也包含虚数部分，这样的数就叫复数（complex numbers）。有了复数，就可以将平面所有的点用代数的方法表达出来，即\(a+bi\)。
3. 复数的运算
3.1 模
如上所述，平面上的任何一个点皆可以用复数来表示，模（magnitude）表示点到原点的距离，可以用勾股定理（Pythagorean theorem）求得，如下图所示（图片来源于[4]）：
3.2 加减
先看看实数的加减。加减可以理解成数在实数轴的移动（sliding numbers），比如\(-1+3\)，实数轴上的数\(-1\)往右移动3个单位（\(+3\)），得到\(2\)。
同理，复数的加减可以理解成数在平面的移动，实数和虚数分别移动，所以复数的加减是实数和复数分别进行加减，举例如下:
$$
(3 + 4i) + (-1 + i) = (3-1) + (4i+i) = 2 + 5i
$$
其平面移动示意图如下（图片来源于[4]）：
3.3 乘法
实数的乘法可以理解成缩放（scaling），比如\(2 \cdot -3\)，2放大3倍为6，方向是反方向，所以结果是\(-6\)。
复数的乘法也类似，由两部分组成：缩放、角度。举例说明，\((3 + 4i) \cdot (1 + i)\)：
（1）角度
\((1 + i)\)表示逆时针方向旋转\(45^{\circ}\)，原来的角度 \((3 + 4i)\)是\(53.1^{\circ} \)，所以最后的角度是逆时针方向\(53.1^{\circ} + 45.0^{\circ} = 93.1^{\circ} \)。
>>> import math
>>> math.degrees(math.atan2(4, 3)) # (3 + 4i)的度数
53.13010235415598
>>> math.degrees(math.atan2(1, 1)) # (1 + i)的度数
45.0
>>> math.degrees(math.atan2(7, -1)) # (-1 + 7i)的度数
98.13010235415598
旋转示意图如下（图片来源于[2]）：
（2）缩放
\((1 + i)\)距离原点的距离为\(\sqrt{2}\)，\((3 + 4i)\)的距离为\(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)，5放大\(\sqrt{2}\)倍为\(5 \cdot \sqrt{2}\)。
知道了点的模和角度，就可以在平面标识出来，也就很容易求得该点在X、Y轴的映射，如下：
>>> import math
>>> 5 * math.sqrt(2) * math.cos(math.radians(98.13)) # X轴
-0.9999874950792298
>>> 5 * math.sqrt(2) * math.sin(math.radians(98.13)) # Y轴
7.000001786405856
可见，\( (3 + 4i) \cdot (1 + i) = -1 + 7i\)。总结起来，两个复数相乘（\( z = x * y \)），包含两部分：
- 角度相加：\( \angle{z} = \angle{x} + \angle{y} \)
- 模缩放：\( |z| = |x| * |y| \)
$$
(3 + 4i) \cdot (1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = -1 + 7i
$$
3.4 除法
跟实数类似，复数的除法是乘法的逆运算（\( z = \frac{x}{y} \)），
- 角度相减：\( \angle{z} = \angle{x} – \angle{y} \)
- 模缩放：\( |z| = \frac{|x|}{|y|} \)
以\( \frac{3 + 4i}{1 + i} \)为例：
（1）角度
\( (3 + 4i) \)的角度为\(53.1^{\circ} \)，\((1 + i)\)的角度为\(45^{\circ}\)，所以\( \angle{z} = \angle{x} – \angle{y} = 8.1^{\circ} \)
（2）模
$$
|z| = \frac{|x|}{|y|} = \frac{5}{\sqrt{2}}
$$
同理，有了模和角度，就可以将复数\( z \)在平面表示出来，即\( \frac{7 + i}{2} \)，具体计算如下：
>>> import math
>>> 5 / math.sqrt(2) * math.cos(math.radians(8.13)) # X轴
3.5000008932029276
>>> 5 / math.sqrt(2) * math.sin(math.radians(8.13)) # Y轴
0.49999374753961495
$$
\frac{3 + 4i}{1 + i} = \frac{3 + 4i}{1 + i} \cdot \frac{1 – i}{1 – i} = \frac{3 – 4i^2 + 4i – 3i}{1 – i^2} = \frac{7 + i}{2}
$$
3.4 共轭复数
共轭复数（complex conjugates）
References:
[1]Book: Math, Better Explained: Learn to Unlock Your Math Intuition
[2]Blog: A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers
[3]Blog: Understanding Why Complex Multiplication Works
[4]Blog: Intuitive Arithmetic With Complex Numbers
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