直观数学:数学常数e

本文试图直观理解数学常数e,包括4种e常见定义的直观解释,自然对数,指数。

1. 直观解释e

先看看e的一些常见定义:

The faces of e

图1:数学常数e的一些常见定义(图片来源于[2])

是不是很难get到点,因为一点都不直观。想直观理解e,追溯其历史是个不错的选择(哪里第一次被使用以及用于做什么)[2]

Looking at e’s history, it seems it has something to do with growth or interest rates. e was discovered when performing business calculations (not abstract mathematical conjectures) so “interest” (growth) is a possible theme.

尽管真正使用e表示自然常数是欧拉从1727年开始的,但e可以追溯到7000年前美索不达米亚的苏美尔人发明的利息[4](Wikipedia: Interest#History_of_interest)。

假设本金1元,年利率100%,显然到年末可以得到本金加利息2元(图2左),利息只有在最后一刻才出现。现在每半年计算一次利息,跟前者不同的是,半年产生利息0.50元可以作为本金,在12月份可以产生利息0.25,所以最后本金加利息为2.25元(图2右),这就是所谓的复利或者利滚利。

interest rate growth  compound interest

图2:一年(左)和半年(右)利息计算

图2右还不是很直观,参照下图(图片来源于[5]):

compound_interest_factory

试想如果把利息结算周期无限缩短,如下:

  • 每12个月:growth = (1 + 1)
  • 每6个月:growth = (1 + 1/2)^2
  • 每3个月:growth = (1 + 1/3)^3
  • 结算周期无穷算(e is defined to be that rate of growth if we continually compound 100% return on smaller and smaller time periods)

\displaystyle{growth = e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}

这样就得到了e的极限形式化定义。也就是说本金1元,利率100%,不管结算周期如何短,最后得到的本金加利息上限是e。跟不断增加正多边形的边数求圆周率一样,通过不断增加n,可以无限逼近e的值,以下是部分值:

n          (1 + 1/n)^n
-----------------------
1          2
2          2.25
3          2.37
5          2.488
10         2.5937
100        2.7048
1,000      2.7169
10,000     2.71814
100,000    2.718268
1,000,000  2.7182804

以下摘自[2],便于理解e:

e is about 100% continuous growth.

e is the base rate of growth shared by all continually growing processes. e lets you take a simple growth rate (where all change happens at the end of the year) and find the impact of compound, continuous growth, where every nanosecond (or faster) you are growing just a little bit.

e represents the idea that all continually growing systems are scaled versions of a common rate.

Just like every number can be considered a scaled version of 1 (the base unit), every circle can be considered a scaled version of the unit circle (radius 1), and every rate of growth can be considered a scaled version of e (unit growth, perfectly compounded).

1.1 形式化定义直观解释

有了上述的基础,现在回到图1,直观解释e的形式化定义,内容来源于[2]。

定义1:极限

如上述,可以视为间隔尽可能小的100%复利增长(100% compound growth at the smallest increment
possible)

定义2:数列

用本金加利息来解释:

  • 1 = 1/0!,本金
  • 1 = 1/1!,由本金直接产生的利息
  • 0.5 = 1/2!,由利息产生的利息,第二级
  • 0.1666 = 1/3!,由利息产生的利息,第三级

所以e就等于本金加上所有利息产生的利息(Define e by the contributions each piece of interest makes)。

定义3:积分

换另一个角度看问题,不同于之前看最终可以增长多少,现在看需要多久才能达到e。

  • 需要1个单位时间从1增加到2
  • 需要1/2个单位时间从2增加到3
  • 需要1/3个单位时间从3增加到4

ln(a)表示从1增加到a需要的时间。ln(e)=1可以视为花一个单位时间所能达到的增长量(is is the amount of growth after waiting exactly 1 unit of time)。

定义4:导数

Define e as always growing by 100% of your current value

2. 自然对数

Define the time needed to grow continuously from 1 to as ln(a).

3. 指数函数

为了更直观理解指数函数ex,现在将1中(利率为100%,时长为1年)的假设从利率率和时长两方面做拓展。

(1)不同的利率

现在假设利率为50%,这样可以得到:

\displaystyle{\left( 1 + \frac{.50}{50} \right)^{50} = \left( 1 + .01 \right)^{50}}

\displaystyle{e \approx \left( 1 + \frac{1.00}{100} \right)^{100} = \left( 1 + .01 \right)^{100}}

\displaystyle{\left( 1 + .01 \right)^{50} = \left( 1 + .01 \right)^{100/2} = \left( \left( 1 + .01 \right)^{100}\right)^{1/2} = e^{1/2} }

从上面例子推广到更一般的情况,可以得到:

\displaystyle{growth = e^{rate}}

(2)不同的时长

现在假设存款时长为2年,那么2年后的本金加利息则等于:e^2.

综上,可以得到更一般计算投资回报的方法,如下:

\displaystyle{growth = \left(e^{rate}\right)^{time} = e^{rate \cdot time}}

以e3为例,可以有如下两种解释:

  • x is the number of times we multiply a growth rate: 100% growth for 3 years is e3
  • x is the growth rate itself: 300% growth for one year is e3

参考资料:
[1]BetterExplained: An Intuitive Guide To Exponential Functions & e
[2]Math, BetterExplained.pdf
[3]Wikipedia: e (mathematical constant)
[4]知乎:数学里的 e 为什么叫做自然底数?是不是自然界里什么东西恰好是 e?
[5]BetterExplained: A Visual Guide to Simple, Compound and Continuous Interest Rates

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