直观数学:数学常数之圆周率π

圆周率Pi被定义为周长与直径的比值(Ratio of circumference to diameter),或者说是直径为1的周长,但π是如何算出来的,如何直观理解π。

1. 如何求π

我在想,圆周率的概念也许来源于直径为1的圆的周长。这样,圆周率的几倍,就相当于把圆放大几倍。下图[2]直观给出单位圆的周长:

File:Pi-unrolled-720.gif

π是第十六个希腊字母的小写,是希腊语περιφρεια的首字母,表示周边,地域,圆周等意思。1706年英国数学家威廉·琼斯(William Jones ,1675-1749)最先使用π来表示圆周率。1736年,瑞士大数学家欧拉也开始用π表示圆周率。从此,便成了圆周率的代名词[1]

尽管人类对π的认知可以追溯到远古,但对π进行系统严格的估算应该是阿基米德[3]。即用单位圆的内接正多边形求得圆周长的下界,用外接正多边形求得圆周长的上界,在两者之间取平均,求得圆周率近似值,利用的是几何方法。百度维基百科给出了详细描述,如下:

古希腊大数学家阿基米德(Archimedes,公元前287-212 年)开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发,先用内接正六边形求出圆周率的下界为3,再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着,他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍,将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形,再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍,直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后,他求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7,并取它们的平均值3.141851作为圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念,称得上是“计算数学”的鼻祖[1]

为了便于理解,从内接正四边形和外接正四边开始,如下图所示[4]

Pi square estimate

通过不断增加边的条数,结果就会越精确,如下图所示:

File:Archimedes pi.svg

接下来问题是,如何证明周长与直径的比值等于常数π,利用相似图形的性质?基于欧几里德几何?

突然想到一个问题:为什么将圆的面积定义为πr^2,如何直观理解??跟下面这个图有关?

2. 圆周率的计算历史

圆周率计算历史可以追溯到公元前1900~1600,记载了圆周率等于多少(但没记载是怎么求的?);从公元前250年开始(几何法时期),开始利用正多边形近似求得圆周率;16世纪至17世纪(分析法时期),利用无穷级数或无穷连乘积求π,摆脱可割圆术的繁复计算;计算机时代(1949-),π精度更是得到空前提高。

2.1 古代Antiquity

英国作家John Taylor(1781–1864)在其名著《金字塔》(The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?》中指出造于公元前2589–2566BC胡夫金字塔和圆周率有关,其理由是该金字塔周长(1760 腕尺cubits,古代长度单位,相当于前臂的长度)与高度(280 cubits)比例约是圆周率的两倍(1760/280≈6.2857,2π≈6.2832)。显然这样的推断让人难以信服。

圆周率最早记载在一块古巴比伦石匾(约产于公元前1900年至1600年)清楚地记载了圆周率等于25/8= 3.125。同一时期的古埃及文物,莱因德数学纸草书(Rhind Mathematical Papyrus)也表明圆周率等于分数16/9的平方,约等于3.1605。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》(Satapatha Brahmana)显示了圆周率等于分数339/108,约等于3.139[1]

2.2 其他

圆周率历史可以参考维基百科词条Pi的History

3. π的精度和人类记忆记录

3.1 π的精度

(1)计算精确π的动机

把圆周率算得这么精确,最初的目的是探究π是否循环小数[1]。1761年瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特证明π是无理数(这里列出了证明Pi是无理数的几种方法)。1882年林德曼(Ferdinand von Lindemann)证明π是超越数(不是代数数的无理数,称为超越数),即不是任何一个有理系数代数方程的根(e也是超越数),π是超越数的证明可参考这里

根据Jörg Arndt和Christoph Haenel的研究,π小数点39位对于绝大多数的宇宙计算(cosmological calculations)已经足够了,因为计算已知宇宙(known universe)的体积,误差也不过是一个原子的大小[2]。但把π的精度提高,还是有意义的,如打破记录后的商业报道,测试超级计算机性能[2]

(2)π的精度

维基百科词条Chronology of computation of π 罗列了圆周率计算年表,从最早公元前26世纪的3.143到2013的小数点后12,100,000,000,050位。下图直观展示了π精度随时间的变化(纵坐标是logscale):

File:Record pi approximations.svg

3.2 圆周率记忆吉尼斯记录

目前圆周率记忆的吉尼斯世界记录(Guinness World Records, most pi places memorised)是吕超2005年11月25日,花了24小时04分钟背诵完π小数点后的67,890位。详情可以查看官网介绍。

4. 与π相关趣事

4.1 新解Pizza

以下这张图一直贴在我导师办公室,直到今年我才留意到,发现很有趣,搜出来与大家分享。


图1 Pizza形象表示,图片来源于这里

4.2 π与河流[3]

π与地球上的许多河流有关:河流弯曲河道的曲线长度与河道首尾直线距离之比通常都接近于3.14——河道越是蜿蜒曲折,这个近似值就越好——亚马逊河便是一个例子。

4.3 π与大脑视觉皮[3]

2010年11月《科学》杂志上报道的德国格丁根大学马克·普朗克动力学与自组织科学研究所和伯恩斯坦计算神经科学研究中心的科学家Matthias Kaschube及其团队的一项研究成果。他们说在相同哺乳类中的三种远亲动物婴猴(galago)、树鼩(tree shrew)和蒙眼貂(ferret)的大脑中发现,它们的视觉皮层的螺旋结构平均分布密度都是一样的,而且都落在π值3.14的95%置信区间之中

科学家们相信,今天的生物大脑都是经过漫长时间通过自组织演化过程而逐渐形成的,并且都具有某种最优的结构和功能。如果是这样的话,那些哺乳类动物大脑视觉皮层中基本螺旋结构分布都不约而同地呈现出以3.14为平均密度之特征,是不是自然进化的最优结果呢?[3]

参考资料:
[1]百科词条:圆周率
[2]维基百科词条:Pi
[3]博文《从圆周率π谈起
[4]博文《Prehistoric Calculus: Discovering Pi

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