直观理解虚数i

再次读了《Math, Better Explained: Learn to Unlock Your Math Intuition》虚数部分,这次做点笔记。

1. 直观理解虚数\(i\)

实数轴因为有了负数才完整(正负号表示方向),坐标系因为有了虚数才完整(虚数\(i\)视为X轴中的1逆时针翻转\(90^{\circ}\))。将虚数\(i\)(imaginary number)放在直角坐标系理解:

  • \(i\):逆时针翻转\(90^{\circ}\),到达了Y轴正方向
  • \(-i\):顺时针翻转\(90^{\circ}\),到达了Y轴反方向
  • \(i^2\):两次逆时针翻转\(90^{\circ}\),到达了X轴反方向,即为\(-1\),所以\(i^2=-1\)
  • \(i^3\):三次逆时针翻转\(90^{\circ}\),到达了Y轴反方向,所以\(i^3=-i\)
  • \(i^4\):四次逆时针翻转\(90^{\circ}\),回到原点,所以\(i^4=1\)

如下图所示(图片来源于这里):

Rotations_on_the_complex_plane

2. 复数

上述介绍的翻转都是\(90^{\circ}\)的整数,如果不是\(90^{\circ}\)呢,比如说\(45^{\circ}\),如下图所示(图片来源于[1]):

rotate_45_degrees

翻转\(45^{\circ}\)的数\(1+i\),既包含实数部分,也包含虚数部分,这样的数就叫复数(complex numbers)。有了复数,就可以将平面所有的点用代数的方法表达出来,即\(a+bi\)。

3. 复数的运算

3.1 模

如上所述,平面上的任何一个点皆可以用复数来表示,模(magnitude)表示点到原点的距离,可以用勾股定理(Pythagorean theorem)求得,如下图所示(图片来源于[4]):

complex_magnitude

3.2 加减

先看看实数的加减。加减可以理解成数在实数轴的移动(sliding numbers),比如\(-1+3\),实数轴上的数\(-1\)往右移动3个单位(\(+3\)),得到\(2\)。

同理,复数的加减可以理解成数在平面的移动,实数和虚数分别移动,所以复数的加减是实数和复数分别进行加减,举例如下:
$$
(3 + 4i) + (-1 + i) = (3-1) + (4i+i) = 2 + 5i
$$

其平面移动示意图如下(图片来源于[4]):

complex_addition

3.3 乘法

实数的乘法可以理解成缩放(scaling),比如\(2 \cdot -3\),2放大3倍为6,方向是反方向,所以结果是\(-6\)。

复数的乘法也类似,由两部分组成:缩放、角度。举例说明,\((3 + 4i) \cdot (1 + i)\):

(1)角度

\((1 + i)\)表示逆时针方向旋转\(45^{\circ}\),原来的角度 \((3 + 4i)\)是\(53.1^{\circ} \),所以最后的角度是逆时针方向\(53.1^{\circ} + 45.0^{\circ} = 93.1^{\circ} \)。

>>> import math
>>> math.degrees(math.atan2(4, 3))      # (3 + 4i)的度数
53.13010235415598
>>> math.degrees(math.atan2(1, 1))      # (1 + i)的度数
45.0
>>> math.degrees(math.atan2(7, -1))     # (-1 + 7i)的度数
98.13010235415598

旋转示意图如下(图片来源于[2]):

example_complex_numbers_multiply

(2)缩放

\((1 + i)\)距离原点的距离为\(\sqrt{2}\),\((3 + 4i)\)的距离为\(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\),5放大\(\sqrt{2}\)倍为\(5 \cdot \sqrt{2}\)。

知道了点的模和角度,就可以在平面标识出来,也就很容易求得该点在X、Y轴的映射,如下:

>>> import math
>>> 5 * math.sqrt(2) * math.cos(math.radians(98.13))    # X轴
-0.9999874950792298
>>> 5 * math.sqrt(2) * math.sin(math.radians(98.13))    # Y轴
7.000001786405856

可见,\( (3 + 4i) \cdot (1 + i) = -1 + 7i\)。总结起来,两个复数相乘(\( z = x * y \)),包含两部分:

  • 角度相加:\( \angle{z} = \angle{x} + \angle{y} \)
  • 模缩放:\( |z| = |x| * |y| \)

$$
(3 + 4i) \cdot (1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = -1 + 7i
$$

3.4 除法

跟实数类似,复数的除法是乘法的逆运算(\( z = \frac{x}{y} \)),

  • 角度相减:\( \angle{z} = \angle{x} – \angle{y} \)
  • 模缩放:\( |z| = \frac{|x|}{|y|} \)

以\( \frac{3 + 4i}{1 + i} \)为例:

(1)角度

\( (3 + 4i) \)的角度为\(53.1^{\circ} \),\((1 + i)\)的角度为\(45^{\circ}\),所以\( \angle{z} = \angle{x} – \angle{y} = 8.1^{\circ} \)

(2)模

$$
|z| = \frac{|x|}{|y|} = \frac{5}{\sqrt{2}}
$$

同理,有了模和角度,就可以将复数\( z \)在平面表示出来,即\( \frac{7 + i}{2} \),具体计算如下:

>>> import math
>>> 5 / math.sqrt(2) * math.cos(math.radians(8.13)) # X轴
3.5000008932029276
>>> 5 / math.sqrt(2) * math.sin(math.radians(8.13)) # Y轴
0.49999374753961495

$$
\frac{3 + 4i}{1 + i} = \frac{3 + 4i}{1 + i} \cdot \frac{1 – i}{1 – i} = \frac{3 – 4i^2 + 4i – 3i}{1 – i^2} = \frac{7 + i}{2}
$$

3.4 共轭复数

共轭复数(complex conjugates)

References:
[1]Book: Math, Better Explained: Learn to Unlock Your Math Intuition
[2]Blog: A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers
[3]Blog: Understanding Why Complex Multiplication Works
[4]Blog: Intuitive Arithmetic With Complex Numbers

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